Apresentamos um modelo metapopulacional composto por sítios distribuídos em duas escalas geográficas e habitados por multi-espécies. Na escala regional, os sítios estão acoplados por processo de dispersão curta formando um grupo de sítios, ou conglomerado. Na escala global, consideramos grupos de sítios conectados por processo de longo alcance. Analisamos a sincronização do modelo e apresentamos um critério analítico para a sincronização onde todos os grupos de sítios evoluem com a mesma densidade. Através de simulações numéricas, discutimos os diferentes modos de sincronização que dependem de como os indivíduos se distribuem nos sítios que compõem um conglomerado.

We present a metapopulation model with patches distributed in two scales where multi-species are interacting. In a local scale, clusters of patches coupled by short range dispersal are assumed to be formed. In a regional scale, long distance dispersal is responsible to link patches that are in different clusters. We then analyze the synchronization between the clusters of patches and an analytical criterion is obtained to the local stability of synchronized solutions. Through numerical simulations, we discuss the different modes of synchronization that depend on how individuals are distributed among the local patches that compose a cluster.

Um modelo metapopulacional com migração dependente do tempo é proposto a fim de estudarmos a estabilidade de trajetórias sincronizadas. Durante cada geração, consi deramos que existem dois processos na dinâmica populacional: a dinâmica local e a mi gra ção entre os sítios que compõem a metapopulação. Obtemos um critério para a ocorrência de sincronização que depende da dinâmica local (número de Lyapunov) e de todo o processomigratório. A estabilidade de trajetórias sincronizadas depende de como os indivíduosmigram entre os sítios.

A discrete metapopulation model with temporal dependent migration is proposed in order to study the stability of synchronized dynamics. During each time step, we assume that there are two processes involved in the population dynamics: local patch dynamics and migration process between the patches that compose the metapopulation. We obtain an analytical criterion that depends on the local patch dynamics (Lyapunov number) and on the whole migration process. The stability of synchronized dynamics depends on how individuals disperse among the patches.

Neste trabalho, consideramos um modelo metapopulacional com sítios distribuídos em duas escalas geográficas e analisamos a estabilidade da dinâmica sincronizada. A primeira escala é composta por uma metapopulação com um número arbitrário de sítios, enquanto a segunda escala é composta por um número arbitrário de metapopulações. Durante cada passo de tempo, assumimos que existem 3 processos envolvidos na dinâmica populacional: a) a dinâmica local, que consiste de reprodução e sobrevivência e depende da escolha da função para calcular a densidade de cada sítio; b) a dispersão de indivíduos entre os sítios da primeira escala; e c) a dispersão entre as metapopulações. Analisamos duas maneiras dos sítios sincronizarem, primeiramente consideramos sincronização na escala maior, por conseguinte sincronização nas duas escalas. Para o caso de sincronização nas duas escalas, obtemos um critério para sincronização dependendo de dois parâmetros: o número de Lyapunov e por um parâmetro que depende do processo migratório. No caso da segunda escala estar sincronizada com os respectivos sítios da primeira escala não necessariamente sincronizados, obtemos um critério cujos valores são calculados numericamente.

In this paper, a metapopulation model composed of patches distributed in two geographic scales is proposed in order to study the stability of the synchronous dynamics. The first scale is a metapopulation consisting of equal patches while the second scale is composed of an arbitrary number of metapopulations. During each time step, we assume that there are three processes involved in the population dynamics: a) the local dynamics, which consists of reproduction and survival and depends only on function chosen to calculate the density of each patch before migration; b) the dispersal of individuals between the patches of the first scale; and c) the movement between the metapopulations. We examine two kinds of synchronizations: when each patch has the same density (both scales are synchronized), and when each metapopulation has the same density patches with its patches not necessary synchronized, that is, only the second scale is synchronized. A stability criterion is obtained based on the computation of the transversal Lyapunov number of attractors on the synchronous invariant manifold. For case where both scales are synchronized, the criterion is determined by two terms: the Lyapunov number that depends only on the local dynamics of each isolated patch and a term that depends on the migration process. For the case where only the second scale is synchronized, the transversal Lyapunov number is calculated numerically.